モンテカルロ法を使用したヨーロピアン・オプションの価格計算

目的

nsamp 個のサンプルを基にヨーロピアン・オプション (コールおよびプット) の価格 (nopt) を計算します。

解決方法

モンテカルロ・シミュレーションを使用してヨーロピアン・オプションの価格を計算します。コールオプションとプットオプションのペアは、次のように計算します。

1. 初期化します。

2. オプションの価格を並列に計算します。

3. コール価格とプット価格のペアの計算をブロックに分割します。

4. ブロックの計算を実行します。

5. リソースを解放します。

#pragma omp parallel 
  { 
      ... 
      VSLStreamStatePtr stream; 
      j = omp_get_thread_num(); 

      /* RNG を初期化 */ 
      vslNewStream( &stream, VSL_BRNG_MT2203 + j, SEED ); 
      ... 
  }

#pragma omp parallel 
  { 
      ... 
      /* オプションの価格付け */ 
  #pragma omp for 
      for(i=0;i<nopt;i++) {
          MonteCarloEuroOptKernel( ... ); 
      } 
      ... 
  }

const int nbuf = 1024; 
nblocks = nsamp/nbuf; 
... 
/* ブロックの計算 */ 
for ( i = 0; i < nblocks; i++ ) { 
    /* 末尾が正しく計算されることを保証 */ 
    int block_size = (i != nblocks-1)?(nbuf):(nsamp - (nblocks-1)*nbuf); 
    ... 
}

/* ブロックの計算 */ 
for ( i = 0; i < nblocks; i++ ) { 
    ... 
    /* 乱数のブロックを生成 */ 
    vdRngLognormal( VSL_RNG_METHOD_LOGNORMAL_ICDF, stream, block_size, rn, a, nu, 0.0, 1.0 ); 

    /* リダクション */ 
  #pragma vector aligned 
  #pragma simd 
    for ( j=0; j<block_size; j++ ) { 
        st = s0*rn[j]; 
        vc = MAX( st-x, 0.0 ); 
        vp = MAX( x-st, 0.0 ); 
        sc += vc; sp += vp; 
    } 
} 
*vcall = sc/nsamp * exp(-r*t); 
*vput = sp/nsamp * exp(-r*t);

#pragma omp parallel 
  { 
      ... 
      VSLStreamStatePtr stream; 
      ... 
      /* RNG を削除 */ 
      vslDeleteStream( &stream ); 
  }

使用されるルーチン

説明

モンテカルロ・シミュレーションは、ランダム・サンプリングを繰り返すことでモデルの特性を決定する、広く使用されている手法です。モンテカルロ・シミュレーションによるヨーロピアン・オプションの価格付けは、簡単な金融ベンチマークであり、モンテカルロ・シミュレーションを使用する実際のアプリケーションの取り掛かりとして利用できます。

S_t は、次の確率過程が適用される t 時点の株価とします。

dS_t = μS_tdt + σS_tdW_t, S₀

ここで、μ は ドリフト、σ は ボラティリティー (定数と仮定)、W = (W_t)_{t≥ 0} は Wiener 過程、dt は時間ステップで、S₀ (t = 0 の株価) は X に依存しません。

予想値は、E(S_t) = S₀ exp(rt) で定義され、r はリスク中立レートです。前述の S_t の定義から E(S_t) = S₀ exp((μ + σ²/2)t)、μ = r - σ²/2 となります。

0 ≤t≤T におけるヨーロピアン・オプションの値 V(t, S_t) は、株価 S_t に依存します。オプションは t = 0 に発行され、t = T (満了日) に行使されます。ヨーロピアン・オプション (コールおよびプット) の場合、満了日のオプション価格 V(T, S_T) は次のように定義されます。

• コールオプション: V(T, S_T) = max(S_T - X, 0)

• プットオプション: V(T, S_T) = max(X - S_T, 0)

X は権利行使価格です。ここでは、V(0, S₀) を評価します。

モンテカルロ法を使用するこの問題の解は、S_T の n 個の可能性をシミュレーションし、V(T, S_T) の平均を係数 exp(-rt) で割り引いて、オプションの現在の価格 V(0, S₀) を取得します。最初の式から S_T は対数正規型に分布しています。

ξ は標準正規分布の確率変数です。

oneMKL の基本乱数ジェネレーターは (BRNG) は、さまざまなパラメーター・セット、ブロック分割、リープフロッギングの使用など、多様な並列計算モデルをサポートします。

この例は、6024 種類のパラメーター・セットをサポートする MT2203 BRNG を使用します。ストリームの初期化関数で、j を BRNG 識別子 VSL_BRNG_MT2203 に加えて、パラメーター・セットを選択します。

vslNewStream( &stream, VSL_BRNG_MT2203 + j, SEED );

oneMKL の VS BRNG 実装でサポートされる並列モデルについては、「Intel® MKL Vector Statistics Notes」を参照してください。

計算ブロックのサイズ (この例では 1024 ) は、ブロック内のメモリーアクセス量に依存します。通常、ブロック内のすべてのメモリーアクセスがターゲット・プロセッサーのキャッシュに収まるように計算ブロックのサイズを選択します。